各位朋友好，很多人对 如何因式分解复杂多项式 的疑问，总结起来就那几个核心点，今天我就围绕这些核心，结合 因式分解技巧，做一次全面、彻底的解答。
本文目录
高次幂***如3次***因式分解技巧
1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例：分解因式x-2x
-x
x-2x-x=x(x-2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例：分解因式a
+4ab+4b
a+4ab+4b=（a+2b）
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例：分解因式m
+5n-mn-5m
m+5n-mn-5m= m-5m-mn+5n
=(m-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例：分解因式7x
-19x-6
分析： 1-3
7 2
2-21=-19
7x-19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x
+3x-40
解x+3x-40=x+3x+()-()-40
=(x+)-()
=(x++)(x+-)
=(x+8)(x-5)
参考资料来源：
百度百科——因式分解
因式分解的方法与技巧
导语：因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解的方法与技巧 1、提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3-2x 2-x
x3-2x2-x=x(x2-2x-1)
2、应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2+4ab+4b2
解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2
3、分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m2+5n-mn-5m
解：m2+5n-mn-5m= m 2-5m-mn+5n
=(m2-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法
对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x2-19x-6
分析： 1×7=7, 2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2+6x-40
解x2+6x-40=x2+6x+( 9)-(9)-40
=(x+ 3)2-(7) 2
=[(x+3)+7]*[(x+3)– 7]
=(x+10)(x-4)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的.相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x4–x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)
解：2x 4–x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2
=x2{2[x2+()2]-(x+)-6}
令y=x+,
x2{2[x2+()2]-(x+)-6}
= x2 [2(y2-2)-y-6]
= x2(2y2-y-10)
=x 2(y+2)(2y-5)
=x2(x++2)(2x+-5)
=(x2+2x+1)(2x2-5x+2)
=(x+1)2(2x-1)(x-2)
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1)(x-x 2)(x-x3)……(x-xn)(一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根)
例8、分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6
解：令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1,
则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法(这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的)
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1,x2,x3,……xn，则多项式可因式分解为
f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)
例9、因式分解x3+2x2-5x-6
解：令y= x3+2x2-5x-6
作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2
则x3+2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2-c 2)+bc(b-c)
=(b-c) [a2-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法
将2或10(或其它数)代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2+23x+15
解：令x=2，则x3+9x 2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x3+9x2+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4
如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
= x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4
所以解得
则x4–x3-5x2-6x-4=(x 2+x+1)(x2-2x-4)。
因式分解应该注意哪些问题?一、要注意到“1”的存在而避免漏项
在提取公因式时,多数同学易忘记观察被分解多项式的项数是多少,更没有理解因式分解与乘法运算之间的关系,而在分解因式时应注意到“1”在这个多项式分解中的存在和作用。
例1分解因式23x+5xy+x=x(3x+5y)
错解: 23x+5xy+x=x(3x+5y),这样就漏了“x”这一项,提出“x”后应由“1”来补其位。正解: 23x+5xy+x=x(3x+5y+1)
二、提取公因式时要注意符号的变化
牢记在有理数的乘法运算中“括号前是负号,去括号时括号里的各项都要变号”这一运算律,而因式分解与乘法运算之间互为逆变形,首相为负号应提取负号,但加括号并且括号里的各项都要变号。
例2分解因式2-10x+10xy.
错解: 2-10x+10xy=-10x(x+y),错在括号里没有变号。
正解: 2-10x+10xy=-10x(x-y).
三、要注意整体与个体之间的关系
在公式22a-b=(a+b)(a-b)，222a+2ab+b=(a+b), 222a-2ab+b=(a-b)中,a、b代表符合这一特点的整个代数式里的整个因式,而不只代表这个代数式里的某一个因式。如216x是表示2(4x),而不是216x.因此再分解因式时要注意整体与个体之间的关系。
例3分解因式29x-1
错解: 29x-1=(9x+1)(9x-1),错在29x-1只能写为2(3x)不能写为29x.正解: 29x-1=(3x+1)(3x-1).
四、要注意分解完整
因式分解即是把一个多项式分解为几个不能再分解的因式的乘积形式,因式分解需要分解到不能再分解为止。
例4分解因式4216x-72x+81
错解: 4216x-72x+81=22(4x-9),很多学生就分解到此为止,但没有注意到24x-9还可以分解。因为24x可以写成2(2x),9可以写成2(3),故24x-9符合平方差公式的特点应继续分解。
正解: 4216x-72x+81=22(4x-9)=2[(2x+3)(2x-3)]=22(2x+3)(2x-3)例5分解因式4x-9(在实数范围内)
错解: 4x-9=22(x+3)(x-3),错在许多学生还未注意到2(x-3)中的“3”还可以写为
2(3),因此2(x-3)写为2x-2(3),这就符合平方差公式的特点应继续分解。
正解: 4x-9=22(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3)五、应注意因式与整式乘法的关系
因式分解是要把一个多项式分解为几个整式的乘积形式;然而整式的乘法是要把几个正式的乘积形式化成一个多项式的形式。例6分解因式4224a-2ab+b.
错解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)=2222(a+2ab+b)(a-2ab+b),错在又把22(a+b)(a-b)化为了2222(a+2ab+b)(a-2ab+b)
正解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)。
因式分解的技巧
在学习因式分解的练习前，我们应具有如下解题技巧：
首先，看式子中有没有公因式，若有则需全部提出；若首项为负可先提负号；若系数是分数，可先提适当的分数，使剩下的多项式的系数为整数．
接着，根据多项式的项数确定分解应用的公式，两项用平方差法，三项用完全平方式或十字相乘法分解，四项及以上需分组分解,最后，在完成因式分解前要判断每个多项式因式能否再次分解回答者： xyjs11
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝(a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m时，那么
kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
a\-----/b ac＝k bd＝n
c/-----\d ad＋bc＝m
※多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式
好了，希望你通过这篇文章，对 如何因式分解复杂多项式 和 因式分解技巧 有全新且正确的认识。